Trend pełzający

Prognozowanie na podstawie trendu pełzającego z wagami harmonicznymi.

Trend pełzający

Poniższa tabela zawiera dane o liczbie wypadków drogowych zanotowanych w ostatnich n = 15
miesiącach, na pewnym niebezpiecznym odcinku drogi, tzw. „czarnym punkcie”.
 Kolumna t oznacza numer miesiąca, zaœ kolumna yt – liczba odnotowanych wypadków.
t yt
1 10
2 15
3 15
4 15
5 15
6 17
7 15
8 16
9 15
10 14
11 17
12 22
13 20
14 24
15 24
Polecenie:
Przyjmując okres wygładzania k = 3, należy obliczyć teoretyczne wartoœci zmiennej Y (wartoœci trend
pełzający) oraz postawić prognozę punktową liczby wypadków na piąty miesiąc w przyszłoœść (T = 20).
Należy również obliczyć błąd prognozy (współczynnik Theila ).
Tablica 1.
Liczba wypadków w ciągu 15 miesięcy oraz 12 przedziałów czasu wyznaczonych dla przyjętej stałej
wygładzania k=3 w metodzie trendu pełzającego z wagami harmonicznymi.
I odcinek II odcinek III odcinek IV odcinek V odcinek
t yt t yt t yt t yt t yt
1 10 2 15 3 15 4 15 5 15
2 15 3 15 4 15 5 15 6 17
3 15 4 15 5 15 6 17 7 15
VI odcinek VII odcinek VIII odcinek IX odcinek X odcinek
t yt t yt t yt t yt t yt
6 17 7 15 8 16 9 15 10 14
7 15 8 16 9 15 10 14 11 17
8 16 9 15 10 14 11 17 12 22
XI odcinek XII odcinek XIII odcinek
t yt t yt t yt
11 17 12 22 13 20
12 22 13 20 14 24
13 20 14 24 15 24
Do celów prognostycznych  wykorzystam metodę trendu pełzającego z wagami harmonicznymi i stała wygładzania k=3.
Wartoœci liczby wypadków pokazano w XIII – tu przedziałach czasu, które można wyodrębnić w 15-elementowym
szeregu czasowym przy stałej wygładzania k=3.
Przy okreśœlaniu tych odcinków należy zwrócić uwagę  iż mają zawierać po 3 kolejne okresy oraz iż każdy
z nich zaczyna się o jeden póŸźniej od poprzedniego.
Wartoœci rzeczywiste znajdujące się w wyznaczonych przedziałach są podstawą do oszacowania
parametrów równań trendu odcinkowych za pomocš metody najmniejszych kwadratów.
Oszacowania tego dokonam za pomocą funkcji „nachylenie” i „odcięta” zawartych w programie Excel:

Oceny parametrów równań odcinkowych wykorzystam do obliczenia ocen parametrów trendu pełzającego:

zgodnie ze wzorami:

Wyniki zamieszczam w kolumnach 3 i 4 poniższej tablicy.

Mając oceny bot i b1t, obliczamy wartoœci teoretyczne wypadków (y z daszkiem) – kolumna 5 wykorzystujšc wzór:

Œśrednią ważoną w obliczam według wzoru:

1,365

przy czym waga harmoniczna obliczana jest następująco:

Wykres:

prognoza dana jest wzorem:

     gdzie h – realne wyprzedzenie prognozy

W metodzie trendu pełzającego z wagami harmonicznymi mamy możliwoœść oszacowania ex-ante błędu predykcji.

Korzystamy wtedy z wzoru na ocenę wariancji błędu predykcji:

 

Œśrednia ważona (wagami harmonicznymi) w=1,365 oznacza że w badanym okresie liczba wypadków rosła

œśrednio co miesiąc o 1,36.

Należy pamiętać iż obliczona średnia jest œśrednią ważoną a wagi większe znaczenie przypisują nowszym informacjom,

a mniejsze starszym.

Dlatego wartośćœ w jest bliższa ostatnim ocenom parametru kierunkowego trendu pełzającego b1t.

W tej metodzie zakładamy , iż ostatnie tendencje rozwoju zjawisk sš bardziej aktualne niż obserwowane w dalszej przeszłoœci.

Obliczone prognozy oznaczają, że jeżeli wykryta tendencja zostanie utrzymana, to następnych miesiącach

możemy spodziewać się powyżej obliczonych liczb wypadków.

Metoda trendu pełzającego daje możliwośćœ oszacowania ex-ante błędów prognozy.

Odpowiednie wariancje resztowe według wzorów podanych wyżej wyniosły:

Se2= 0,733368407
Sw2= 0,686296435

 

Na postawie ocen względnych błędów ex-ante prognoz mogę stwierdzić że obliczone prognozy są wiarygodne,

Błędy względne do 5% w prognozowaniu uznajemy za dopuszczalne.

WSPÓŁCZYNNIK THEILA

0,0018

I =  0,042 = 4,2%

Wartośćœ I informuje, jaki jest przeciętny względny błąd prognoz wygasłych (wartoœci teoretycznych) dla

rozpatrywanych 15 okresów.